Demostraciones Geométricas

La elegancia de las demostraciones geom ́etricas es directamente proporcional al número de ideas que en ellas vemos e inversamente proporcional al esfuerzo requerido para comprenderlas.

                                                                                                        G. Polya (1887-1985)

Para desarrollar cualquier rama de la matemática, en cada definición de nuevos conceptos intervienen otros conceptos anteriores, y mediante el razonamiento lógico se obtienen proposiciones a partir de otras ya establecidas, las cuales a su vez se han debido deducir de otras anteriores.

Para evitar un círculo vicioso, se deben admitir ciertos conceptos primitivos que permanecerán sin definir y proposiciones primitivas, llamadas axiomas o postulados, que quedarán sin demostrar.

Estos formarán la base de la teoría matemática de que se trate. Una condición que debe cumplir el sistema de axiomas es la de ser compatible, es decir que no haya ninguna contradicción entre ellos. También se debe exigir que los axiomas sean independientes, es decir que ninguno de ellos, ni su negación, pueda deducirse a partir de los demás. Una cuestión no resuelta completamente es de de la integridad del sistema, esto es, la de asegurar que no se puede formular ningún otro axioma independiente de los ya establecidos. Ahora bien, en una misma disciplina pueden darse diversos sistemas de axiomas equivalentes en un sistema una proposición puede ser axioma y en otro teorema. 

Del mismo modo, un mismo sistema axiomático puede tener diversas interpretaciones o aplicaciones concretas.

Para poder hacer demostraciones geométricas toma en cuenta los siguientes consejos:

• Apunta todo lo que sabes de lo que te piden que demuestres, de esta manera podrás partir bien y llegar fácilmente a lo que quieres.
• Saber atacar el problema, esto es si te piden demostrar que dos segmentos son iguales, demuestra que son parte de triángulos congruentes. También sabrás atacar un problema si sabes todo lo que tienes.
• Si la figura es un poco rara y no sabes que hacer, puedes trazar conjuntos auxiliares. Estos por lo general son líneas que ayudan a formar triángulos.
• La mayoría de los métodos de demostración de los maestros es algo fastidioso aunque así sea la manera correcta de demostrar, lo mejor que puedes hacer es hacerlo a mi manera, es decir, primero apuntas lo que sabes (todo sin excepción aunque sea muy obvio) y ver como atacar el problema.
• Observa muy bien tu figura antes de empezar a demostrar, aprende a descubrir lo que está en tu figura por ejemplo.
• Apréndete los axiomas y teoremas más usuales.